你手头有100米长的围栏，任务是围出一个面积尽可能大的矩形地块。围出的最大面积是多少？
在解决这个问题后，我们还会探讨如何用围栏围出最小的面积，即最大限度地降低围栏的效率。
现在，让我们解决这个问题，以下是解决方案，之后还有一些额外的挑战。
1、解决方案
让我们用变量标记矩形的边。由于我们知道对边的长度相同，并且总周长为 100m，因此我们可以策略性地标记它们：
- 宽度为 $ x $米
- 高度为 $ 50 – x $ 米
这样，矩形的周长公式为： $ 2x + 2(50 – x) = 100 \text{米} $，由于 $ x $ 的范围是 0 到 50，我们的矩形范围从铅笔到煎饼，因此我们可以确定这个标记包括周长为 100 米的所有可能的矩形。现在我们知道了宽度和高度，我们可以找到面积并最大化它。面积公式为：$ \text{面积} = x \times (50 – x) = 50x – x^2 $，由于 $ x^2 $系数为负，面积图是一条倒置的抛物线，因此在其转折点处有一个全局最大值。
2、寻找最大面积
我们将使用一个简单的技巧来找到该区域的转折点。对于二次函数 $ ax^2 + bx + c $，转折点的 $ x $ 坐标为： $ x = -\frac{b}{2a} $，在这里，$ a = -1 $，$ b = 50 $，因此：$ x = -\frac{50}{2 \times (-1)} = 25 \text{米} $，所以，矩形面积的最佳值是边长为 25 米的正方形，面积为：$ 25 \times 25 = 625 \text{平方米} $ ，我不能说我没想到它是正方形。现在来看看围栏效率最低的矩形地块。
3、最小面积
我们将使用与上面相同的公式 $ x \times (50 – x) $。当 $ x $ 接近 0 时，面积变为：$ x \times (50 – x) \approx 0 $，这将始终小于 50 $ x $ 平方米。当 $ x $ 趋向于 0 时，面积会变得任意小，因此我们可以用 100 米长的围栏有效地围住 0 平方米的面积。事实证明，你可以用无限栅栏围住仅 0 平方米的区域，但这需要深入研究分形几何，这值得写一篇文章。现在，为什么不对有限栅栏进行更多实验呢？
4、额外挑战
挑战 1：面积与周长比最大的形状是圆形。周长为 100 米的圆的面积是多少？
挑战 2： 一个圆形池塘，周长 100m，周围有一条 2m 宽的小路。小路的总面积是多少？
挑战 3： 如果将矩形缩放至周长加倍，则面积会缩小多少倍？
5、挑战的解答
挑战 1： 圆的周长公式为 $ C = 2\pi r $，面积为 $ A = \pi r^2 $。已知周长 $ C = 100 $ 米，因此半径 $ r = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} $ 米。面积为：
$ A = \pi \left(\frac{50}{\pi}\right)^2 = \frac{2500}{\pi} \approx 795.77 \text{平方米} $
挑战 2： 池塘的周长为 100 米，因此池塘的半径 $$ r = \frac{50}{\pi} $$ 米。加上 2 米宽的小路后，外圆的半径 $$ R = \frac{50}{\pi} + 2 $$ 米。小路的面积为外圆面积减去池塘面积：
$$ \text{小路面积} = \pi R^2 – \pi r^2 = \pi \left(\left(\frac{50}{\pi} + 2\right)^2 – \left(\frac{50}{\pi}\right)^2\right) $$
$$ = \pi \left(\frac{2500}{\pi^2} + \frac{200}{\pi} + 4 – \frac{2500}{\pi^2}\right) = \pi \left(\frac{200}{\pi} + 4\right) = 200 + 4\pi \approx 212.57 \text{平方米} $$
挑战 3： 原矩形周长为 100 米，面积最大为 625 平方米。若周长加倍至 200 米，新的最大面积对应的正方形边长为 50 米，面积为 2500 平方米。面积增加了：
$ \frac{2500}{625} = 4 \text{倍} $