零的零次方不是我们所能正常计算的数。如果我们要计算一些更精确的数，比如 3⁴，我们可以取四个三的乘积：$ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 $，取零个零的乘积并不容易。我们将从两种寻找 0⁰ 的方法开始。第一种方法是固定指数。我们知道任何数的 0 次方都是 1，所以我们可以预期当x = 0 时这成立，所以 0⁰ = 1。或者，我们可以修复底座。我们知道零的任意次方都是 0，所以我们可以预期当x = 0 时这成立，所以 0⁰ = 0。
限制
要了解这里到底发生了什么，我们可以用极限来形式化这个过程。极限告诉我们当变量接近某个值时会发生什么。
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $
我们不关心变量实际达到该值时会发生什么，所以我们不关心x = 0 时会发生什么。如果让x = 0，则会得到 sin(0)/0 = 0/0，这是未定义的。极限检查x接近 0 时会发生什么。
当x趋近于 0 时，我们可以看到 sin( x )/ x趋近于 1，所以这就是我们的极限，尽管 sin( x )/ x从未达到 1。它无限接近。
当x趋近于 0时，下列函数的极限是多少？
这取决于你从哪一侧取极限。x 是从左侧还是右侧趋近于 0？每种情况你都会得到不同的答案！这正是我们试图通过取极限来计算 0⁰ 时面临的问题，但它有点复杂。对于上述函数的极限，我们可以从两个方向接近x = 0：
$ \left| \lim_{(x,y)\to (0,0)} x^y \right| $
现在有了一个额外的变量，我们可以通过多种方式接近这个极限。现在我们不仅可以使用左和右，还可以使用：
还有更多！
xʸ与我们之前看到的函数类似，根据我们采取的路径，我们会得到不同的极限。当 x 和 y 趋近于 0 时，绘制 f(x, y) = xʸ 的 3D 图形对于计算极限没有特别的帮助，但我会在文章末尾放一些图像。学习了底层数学知识后，会更好地理解它。让我们尝试沿着一些不同的路径将 ( x , y ) 发送到 (0, 0)。假设我们从顶部沿着y轴发送它。
x在路径上处处为 0。我们的极限变为：$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} 0^y = \lim_{y \to 0} 0^y $
我们不关心y = 0 时会发生什么。对于y的所有其他值，0 的y次方为 0，因此极限为 0。如果我们从底部向上接近，则此方法不起作用。您能明白为什么吗？现在我们将沿着一些不同的路径来采取限制。
即每条非垂直线都从右侧与 (0, 0) 相交。所有这些线仅从右侧接近 (0, 0) 的原因很快就会显现出来。
每一条这样的线都可以写成y = kx ，其中k是某个数。我们可以沿着所有这些线取xʸ的极限，方法是将y替换为kx。
我们可以使用指数规则来处理k：
当x从上方趋近于 0 时， xˣ的极限是已知极限。
它的极限是 1，但这个极限只能从上方取，因为xˣ对于大多数负x值都是无定义的。这就是为什么我们所有的线都在 (0, 0) 的右侧 — 以确保x不会从下方接近 0。
沿任意非垂直路径从右侧将 ( x , y )发送到 (0, 0) 可知当 ( x , y ) 趋近于 (0, 0) 时， xʸ的极限为 1。
另一方面，将 ( x , y ) 沿着任何垂直结束的路径发送都会告诉我们，当 ( x , y ) 趋近于 (0, 0) 时， xʸ的极限为 0。
对于 0⁰，我们再次得到了两个相互矛盾的答案，但这次答案更加严格。这足以说明极限不存在。如果你从事实分析领域，你可能会说 0⁰ 是未定义的。
其他想法
0⁰ 出现在数学的其他分支中。在代数中，变量x的多项式看起来如下：
如果我们要处理任意多项式，我们不知道它有多少个项或系数是多少，因此我们用和符号来写它：
常数项是₀ x ⁰，即为了使此符号正常工作，我们需要对x的所有值都满足 x ⁰ = 1 ，因此我们假设 0⁰ = 1。
在组合学中，从大小为n的集合到大小为m的集合的函数数量由mⁿ给出。如果你有两个大小为 0 的集合（均为空），那么它们之间只有一个函数 — “空函数”。我们还在组合学中将 0⁰ 定义为 1。
人们普遍认为 0⁰ = 1，因为当我们假设这一点时，一切都会奏效。分析师对多项式使用与代数学家相同的定义，因此尽管不存在极限，他们甚至可能假设 0⁰ = 1。
您认为 0⁰ 应该是多少？我将围绕文章中讨论的主题提出一些额外的挑战。正如承诺的那样，f ( x , y ) = xʸ的图如下所示！
挑战 1：计算当x趋近于 0 时 1/ x的上下极限。一般极限存在吗？
挑战 2：证明当 ( x , y ) 趋近于 (0, 0) 时，x ² y /( x ⁴ + y ²) 的极限不存在。
提示：之前，为了求xʸ沿直线的极限，我们代入
y = kx并将x置为 0。对于这个问题，找到一些给出不同极限的代入式，并得出结论，因此极限不存在。
