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这是物理学和数学史上非常著名的一个问题，叫做 最速降线问题（Brachistochrone problem，源自希腊语 brachistos「最短」+ chronos「时间」）。
答案出人意料，不是直线，而是一段「摆线」（旋轮线，cycloid），也就是一个圆沿直线滚动时，圆周上某一定点所描出的轨迹。让我先用一个动画把几种轨道的比赛直观地展示出来，然后再讲原理。三颗珠子同时出发，摆线（绿）总是最先到达 B 点——尽管它走的路程比直线更长。下面说说为什么。
如何用纯数学方式推导出这条曲线
根据费马原理，光总是沿着 用时最短 的路径走。而我们要找的恰恰也是「用时最短」的轨道，这里我们将珠子假想成光，借用光的规律来解！光在不同介质里速度不同，跨过分界面时会拐弯，这就是折射。我们把珠子下落的空间切成一层层很薄的水平薄片，每层里速度近似不变；越往下，珠子下落得越多、速度越快。于是这束「光」会层层折射，越往下越往水平方向偏：现在只要把这幅图「翻译」成公式，三块高中知识拼起来就够了。
第一块，折射定律（斯涅尔定律）。光每次折射都满足一个不变量：
$$ \frac{\sin\theta}{v} = \text{常数} $$
这里 $\theta$ 是路径与 竖直方向 的夹角（图里那个角）。它的意思是：速度 $v$ 越大，$\sin\theta$ 也越大，光线就越往水平方向躺平 —— 这正好对应「珠子越深越快、轨道越平」。
第二块，能量守恒。珠子从静止下落了高度 $y$，由 $\tfrac12 mv^2 = mgy$ 得到
$$ v = \sqrt{2gy}. $$
第三块，勾股定理。看图里那个小直角三角形：弧长微元 $ds$ 是斜边，水平边是 $dx$，竖直边是 $dy$。角 $\theta$ 是从竖直方向量起的，所以 对边比斜边 就是
$$ \sin\theta = \frac{dx}{ds} = \frac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+y’^2}}, \qquad y’=\frac{dy}{dx}. $$
把三块拼起来。代进斯涅尔定律 $\dfrac{\sin\theta}{v}=$ 常数：
$$ \frac{1}{\sqrt{1+y’^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2gy}} = \text{常数}. $$
两边平方、把常数整理到一起（记成 $2r$），就得到轨道必须满足的方程：
$$ \boxed{,y,(1+y’^2) = 2r,} $$
如果要求解解这个微分方程，则需要用换元法，比较费劲。咱们换个更省事、也更有说服力的做法，直接把摆线的公式代进去，看它满不满足（验证比求解容易得多）。
摆线的参数方程是：
$$ x = r(\theta-\sin\theta), \qquad y = r(1-\cos\theta). $$
先求斜率 $y’$。用参数求导：
$$ \frac{dx}{d\theta}=r(1-\cos\theta), \qquad \frac{dy}{d\theta}=r\sin\theta, $$
$$ y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}. $$
再算 $1+y’^2$，只用到 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$：
$$ 1+y’^2 = 1 + \frac{\sin^2\theta}{(1-\cos\theta)^2} = \frac{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}{(1-\cos\theta)^2}. $$
把分子展开：$(1-2\cos\theta+\cos^2\theta)+\sin^2\theta = 2-2\cos\theta = 2(1-\cos\theta)$。所以
$$ 1+y’^2 = \frac{2(1-\cos\theta)}{(1-\cos\theta)^2} = \frac{2}{1-\cos\theta}. $$
最后乘上 $y=r(1-\cos\theta)$：
$$ y,(1+y’^2) = r(1-\cos\theta)\cdot\frac{2}{1-\cos\theta} = 2r. \quad\checkmark $$
正好等于常数 $2r$！这就证明了摆线 确实满足 最速降线方程。整条思路是把珠子当成走最快路径的光 → 折射定律 + 能量守恒 + 勾股定理，凑出方程 $y(1+y’^2)=2r$ → 验证摆线满足它。
一个额外的惊喜
摆线还有个奇妙性质叫 等时性 ：无论珠子从摆线上的哪一点静止释放，它滑到最低点所用的时间都 完全相同。惠更斯曾利用这一点设计摆钟，让摆动周期不受摆幅大小影响。