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费马的小定理
1640 年，皮埃尔·德·费马在写给朋友的信里描述了一个规律：取任意素数 $p$，再取任意一个不被 $p$ 整除的整数 $a$，那么 $a$ 的 $p-1$ 次方除以 $p$，余数永远是 1。写成数学语言就是：
$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$
举个例子。取 $p=5,\ a=2$：
$$2^4 = 16,\qquad 16 – 1 = 15 = 3 \times 5 ;\Rightarrow; 2^4 \equiv 1 \pmod 5$$
再取 $p=7,\ a=3$：
$$3^6 = 729 = 104 \times 7 + 1 ;\Rightarrow; 3^6 \equiv 1 \pmod 7$$
这就是费马小定理，初等数论里最基础的结论之一。
什么是 韦费里希素数。
费马小定理说的是 $a^{p-1} – 1$ 能被 $p$ 整除。但它能不能被更多东西整除？比如，被 $p$ 的平方整除？
对绝大多数素数和绝大多数底数，答案是不能的，它们被 $p$ 整除，但却卡在 $p^2$ 这一关。可偶尔会有例外。当底数 $a$ 取 2 时，如果某个素数 $p$ 满足 $2^{p-1}-1$ 能被 $p^2$ 整除，也就是
$$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$$
它就被称为 韦费里希素数。
这个名字来自德国数学家亚瑟·韦费里希。1909 年，25 岁的他正在明斯特大学读博士，研究的是当时尚未被证明的费马大定理。费马大定理说：当 $n > 2$，方程
$$x^n + y^n = z^n$$
没有正整数解。这个猜想从 1637 年悬了三百多年，直到 1994 年才被怀尔斯证明。
韦费里希没能证明整个定理，但他为费马大定理的证明奠定了基础，如果费马大定理的 ” 第一种情形 ” 存在反例，也就是 $x,y,z$ 都不被指数 $p$ 整除的那种解——那么这个 $p$ 必然满足 $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$。换句话说：
$$p \text{不是韦费里希素数} ;\Longrightarrow; \text{费马大定理第一种情形对} p \text{成立}$$
这一下，本来要在无穷的整数里大海捞针找反例，现在只需要盯着韦费里希素数这一小撮特殊的数。这是 1994 年之前，人类逼近费马大定理最有力的工具之一。
百年搜寻
虽然韦费里在 1909 年提出了该定理，但当时人们一个韦费里希素数都找不到。
四年后，1913 年，迈斯纳开始动手。那个年代没有电子计算机，他靠的是数学表、模运算和近乎无尽的耐心，一个素数一个素数地试。方法很直接：对每个素数 $p$，算出 $2^{p-1}-1$，再除以 $p^2$，看余数是不是零。
$$ \begin{aligned} p=3:\quad & 2^2-1 = 3, && 3 \bmod 9 = 3 \neq 0 \ p=5:\quad & 2^4-1 = 15, && 15 \bmod 25 = 15 \neq 0 \ p=7:\quad & 2^6-1 = 63, && 63 \bmod 49 = 14 \neq 0 \end{aligned} $$
对绝大多数小素数，结果都平淡无奇。他试了几百个，又试了几千个。直到 $p=1093$，余数终于变成了零，$2^{1092}-1$ 恰好能被 $1093^2$ 整除：
$$2^{1092} \equiv 1 \pmod{1093^2}$$
第一个韦费里希素数出现了。这个结果发表在柏林科学院的会议报告里，也是韦费里希定理第一次真正派上用场。
学界立刻去找第二个。可手工计算又熬了九年，毫无收获。很多人开始怀疑，1093 会不会就是个孤例，是整数世界里一个特立独行的存在。直到 1922 年，阿姆斯特丹的贝格尔接过迈斯纳未竟的工作，借助手摇计算工具，检验到 3511，验证通过：
$$2^{3510} \equiv 1 \pmod{3511^2}$$
第二个。
然后就停在这里了。一百多年，搜索范围推到一百万亿，GPU、分布式网络、优化过的模幂算法全都用上。” 素数网格 ” 项目动员了数万台志愿者的计算机，把 $10^{14}$ 以内每一个奇素数都筛了一遍，只确认了 1093 和 3511 这两个，再无其他。第三个韦费里希素数，始终没有露面。
为什么偏偏是两个
那到底该有多少个？有一个粗略的估算办法。对一个随机的素数 $p$，$2^{p-1}$ 对 $p^2$ 取模的结果，在满足 ” 对 $p$ 取模为 1″ 的前提下，大约有 $p$ 种可能，而我们要的 ” 正好等于 1″ 只是其中一种。所以一个素数 $p$ 恰好是韦费里希素数的概率，大致是：
$$\Pr[,p \text{ 是韦费里希素数},] \approx \frac{1}{p}$$
把所有素数的 $1/p$ 加起来，数学上这个和有一个经典结论：
$$\sum_{p \le n} \frac{1}{p} \approx \log\log n$$
当 $n = 10^{14}$ 时，这个值大约是 $3.7$。也就是说，按这个估算，一百万亿以内 ” 应该 ” 有三到四个。我们找到了两个——要么运气差了点，要么这套直觉本身略有偏差。
但这个估算还透露了一件更重要的事：它暗示韦费里希素数很可能有无穷多个，只是稀疏到极点，增长慢得令人绝望（$\log\log n$ 的增长慢到近乎静止——要让它再加 1，$n$ 得翻成天文数字）。问题在于，这只是启发式的猜测，不是证明。余数看起来像随机的，但它们其实不随机——背后压着我们还没完全看懂的算术结构。至今没有人能证明韦费里希素数有无穷多个，甚至连第三个一定存在都证明不了。
更孤独的近亲
韦费里希素数还有一些亲戚，一样神秘。比如 沃尔–孙–孙素数，定义和韦费里希很像，只是把 2 的幂换成了斐波那契数列里的某一项：
$$p^2 \mid F_{,p – \left(\frac{p}{5}\right)}$$
其中 $\left(\frac{p}{5}\right)$ 是勒让德符号，$F_k$ 是斐波那契数。我们已知多少个？零个，一个都没找到。 同样的启发式估算说它们应该有无穷多个，可计算机搜遍了 $9\times 10^{17}$ 以内的素数，空手而归。
理论说 ” 应该有无穷多个 ”，现实里却要么找到两个，要么一个都没有。这种诡异的规律性本身就在提示：有某种隐藏的结构，在拦着这些数大量出现。
线索藏在一个叫 费马商 的量里。对素数 $p$ 和整数 $a$，定义
$$q_p(a) = \frac{a^{p-1} – 1}{p}$$
这个商是一个整数。而韦费里希条件，恰好等价于以 2 为底的费马商能被 $p$ 整除：
$$q_p(2) \equiv 0 \pmod p ;\Longleftrightarrow; 2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$$
这些费马商的行为，与整数在所谓 $p$ 进数 体系里的表现紧密相连——在那套体系中，$p$ 的幂次越高，反而越 ” 接近于零 ”。这是现代数论最深邃的领域之一，我们至今没完全摸清。
更耐人寻味的是，韦费里希素数还和当代数论最重要的未解猜想之一——ABC 猜想——纠缠在一起。已经有人证明：如果 ABC 猜想成立，那么韦费里希素数就只能有有限个。两个看似毫不相干的问题，背地里却被同一根线牵着。