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一道折磨了人类两千年的难题
公元前 5 世纪的某一天，一位古希腊几何学家在沙地上画了一个圆，然后拿起圆规和直尺，开始思考一个看似简单的问题，能不能只用这两件工具，作出一个正方形，让它的面积恰好等于这个圆？他失败了。后来的人也失败了。阿基米德试过，达·芬奇试过，连牛顿和高斯的时代仍有人在试。这道被称为 ” 化圆为方 ”（squaring the circle）的难题，整整折磨了人类两千多年。它甚至渗进了日常语言，英语里 ”to square the circle” 至今仍是 ” 做不可能之事 ” 的代名词。可是最后的结局却让人十分意外。1882 年，德国数学家林德曼从严密的数学逻辑出发，证明了这个问题：只用尺子和圆规，根本无法把一个圆化成面积相等的正方形。那么，林德曼究竟是怎样证明这一点的呢？
一、难在哪里？
人们常把 ” 化圆为方 ” 想象成 ” 画出一个正方形 ”。但几何作图的本质，从来不是画图形，而是 构造长度。如果这个圆的半径是 1，那么它的面积就是 $\pi \times 1^2 = \pi$。想要“化圆为方”，其实就是要画出一个面积同样为 $\pi$ 的正方形。而正方形的面积等于边长的平方。假设这个正方形的边长是 $a$，那么就有：
$$a^2 = \pi \quad \Longrightarrow \quad a = \sqrt{\pi}$$
这样一来，“化圆为方”就被归结为一个更具体的问题，能不能只用圆规和直尺，精确地作出一条长度为 $\sqrt{\pi}$ 的线段？要回答这个问题，我们得先弄明白圆规和直尺究竟能够作出哪些长度。
一个看似几何的工具，背后其实藏着一套严格的代数。1837 年，法国数学家 皮埃尔·旺策尔（Pierre Wantzel）发现，每一次尺规作图，本质上都对应着一个代数方程问题。两条直线相交求交点，是解 一次方程组 ；直线与圆相交、或两圆相交求交点，对应解一个 二次方程。
一元二次方程的求根公式里，真正会产生新数的地方，就是那个开平方。也就是说，如果我们从最基本的单位长度 1 出发，那么凡是圆规和直尺能够作出来的长度，最后都离不开加、减、乘、除和开平方这几种运算，而且这些运算只能进行有限次。数学上，把这样的数叫作可构造数（constructible numbers）。反过来说，只要一个数能够从 1 出发，通过有限次的加、减、乘、除和开平方得到，那么它也一定可以用圆规和直尺作出来。举几个例子就明白了。
$3$ 可以构造（$1+1+1$）；$\frac{2}{5}$ 可以构造（除法）；$\sqrt{2}$ 可以构造（这正是单位正方形的对角线）；甚至 $\sqrt{1+\sqrt{7}}$ 这种层层嵌套的怪物也能构造，因为它无非是加法套着开方再套着开方。尺规作图虽然允许不断地开平方，但也只能做到这一步，不能开立方根，更不能进行更高次的开方。
二、代数数
现在把视野拉高一层，聊聊代数数（algebraic number）这个概念。所谓代数数，是指能作为某个整系数多项式方程的根的数。形式上，就是存在一组整数 $c_i$，使得：
$$c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_1 x + c_0 = 0$$
这个定义覆盖的范围很广。$\sqrt{2}$ 是代数数，因为它满足 $x^2 – 2 = 0$；黄金分割比 $\frac{1+\sqrt5}{2}$ 满足 $x^2 – x – 1 = 0$；连就连 $\sqrt{1+\sqrt{7}}$ 也是代数数，把它逐步平方化简，最终能凑出一个整系数方程。换句话说，每一个可构造数，都是代数数。
这个道理其实并不复杂。尺规作图能构造出的数，都是从整数出发，经过有限次加、减、乘、除和开平方得到的。这样的数一定是代数数，也就是能满足某个整系数多项式方程的数。因此，如果一个数不是代数数，它就不可能被尺规构造出来。现在问题就变成了 $\sqrt{\pi}$ 是不是代数数？
如果 $\sqrt{\pi}$ 是代数数，那么它的平方 (\pi) 也应该是代数数。但事实上，(\pi) 是超越数，不是代数数。那么什么是超越数呢？
三、超越数
如果一个实数不满足任何整系数多项式方程，它就被称为超越数。这个名字起得有意思：它确实在代数方程的解集之外。超越数存在吗？长期以来没人能回答这个问题。
1874 年，康托尔（Cantor）给出了答案，路子很出人意料。他证明代数数虽然有无穷多个，却是 ” 可数 ” 的，可以一一排成队列。全体实数则是 ” 不可数 ” 的，多到无法排队。两个无穷一比，结论出来了：几乎所有实数都是超越数，代数数在其中只是极少数。
这本该让人松一口气。可康托尔的证明是个整体性论证，他只告诉你超越数 ” 到处都是 ”，却没能指出任何一个具体的、人们熟悉的常数是不是超越数。$\pi$ 和 $e$ 这些天天打交道的东西，究竟落在哪边？不知道。
四：证明
1768 年，约翰·兰伯特（Johann Lambert）利用 $\tan x$ 的连分数展开，证明了 $\pi$ 是无理数，不能写成两个整数之比。这击碎了 ”$\pi$ 也许等于某个分数 ” 的幻想，但对化圆为方的问题没什么用。$\sqrt{2}$ 也是无理数，照样可以用尺规构造。无理数不等于不可构造。这道门还没迈进去。
1844 年，约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）造出了第一个被证明是超越数的具体数字。他的思路是这样的。代数数有一个性质：它们没法被有理数逼近得太快。刘维尔反过来利用这一点，专门构造了一个能被有理数以极快速度逼近的数，快到任何代数数都做不到。既然如此，它就不可能是代数数，只能是超越数。后世称这个数为 ” 刘维尔常数 ”。
超越数从此有了第一个具体的例子。但刘维尔造的是一个为了证明而特意设计的数，跟 $\pi$ 没有关系。人们想知道的，是那些在数学和自然里真实出现的常数究竟是什么性质。
1873 年，夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）证明了自然对数的底 $e$ 是超越数。这是第一次有人对一个常见的数学常数给出这样的结论。
他的证明方法是这样的：假设 $e$ 满足某个整系数多项式方程，然后构造一个辅助积分。对这个积分估值后，会推出一个矛盾：它既必须是非零整数，又必须绝对值小于 1。这样的整数不存在，矛盾成立，假设就此推翻。
这套积分反证法后来成为证明超越性的基本框架。但埃尔米特没有继续把它用在 $\pi$ 上。他在信中写过，自己不想冒这个险。。
终结这件事的是费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）。他拜访过埃尔米特，深谙那套积分反证法。他找到的切入点是欧拉恒等式：
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
这个等式把已经被证明是超越数的 $e$，和悬而未决的 $\pi$ 联系在一起。林德曼的策略是：假设 $\pi$ 是代数数。如果 $\pi$ 是代数数，那么 $i\pi$ 也是代数数（$i$ 满足 $x^2+1=0$，是代数数，代数数相乘仍是代数数）。
然后他把埃尔米特的方法推广到 ” 以代数数为指数的 $e$ 的幂 ” 这个更大的情形。在这套推广后的框架里，$e^{i\pi}$ 必须是超越数。但欧拉恒等式告诉我们 $e^{i\pi} = -1$。矛盾成立。假设推翻。$\pi$ 是超越数。两千年的问题到这里有了答案。